数据结构丨【学习笔记】第八章 图

一、图的基本概念

��      邻接点、顶点的度、权、网、完全图、子图、路径、路径长度（无向图中指经过的边的数量，有向图中指经过的各边的权之和）、简单路径（不走回头路）、回路/环、

        连通图（针对无向图而言，vi到vj有路径）与连通分量（非连通图的极大连通子图)、强连通图（针对有向图而言，对于每一对顶点都存在vi到vj和vj到vi的路径）与强连通分量、

        生成树（具有连通图全部顶点的极小连通子图）与生成森林（非连通图的每个连通分量的生成树组合构成）

       

常用性质：无向图中边数等于顶点数的一半；

            含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边，含有n个顶点的有向完全图含有n(n-1)条边；

            含有n个顶点的生成树一定有n-1条边；

二、存储结构

        需要将构成图的两个集合，即顶点集和边集（圆括号表示的是无向，尖括号表示的是有向）分别存储起来。

1.邻接矩阵表示法

       顶点表记录顶点信息，邻接矩阵表示顶点间关系（两点直接有链接就记1没有记0、有向图以出度的边表示、无向图的邻接矩阵是对称阵、若是带权图考虑用表示）

      该法容易确定两顶点间是否有边相连、各顶点的度（无向图：第i行/列非0元素个数即为第i个顶点的度；有向图：第i行非0元素个数即为第i个顶点的出度，第i列非0元素个数即为第i个顶点的入度）、判断顶点间是否有长度为m的路径

      邻接矩阵占用的存储单元个数只与顶点个数有关，对于顶点数较大的稀疏图会导致存储空间浪费和较低的计算效率。

2.邻接表表示法

    在有向图的邻接表中扫描某结点的长度即为该结点出度的个数，同时计数顶点的出现个数即为该顶点入度的个数。

补充丨随机存储：同一时间访问一组序列中的任意组件。随机存取：给位置可以直接计算地址。而链表、三元组表无法实现随机存取，只能用顺序存储结构。

例4.设采用邻接表作为有向图的存储结构，试编写算法计算有向图中每个顶点的出度和入度。

例5.设采用邻接矩阵存储有向图，试编写算法计算有向图中每个顶点的出度和入度，入度和出度分别存在数组in 和out中。

三、图的遍历

1.深度优先遍历DFS

（一条路走到黑）

     类似于树的前根遍历、二叉树的先序遍历，利用递归实现

    尽可能地深，每个结点的邻接结点不一定全部访问完，可能会退回来访问。

2.广度优先遍历BFS

（广泛结交朋友）

    类似于二叉树的层次遍历，采用非递归的方法-队列或者vector实现。

     尽可能地广，把每个结点的邻接点访问完在进行下一个。

例1.图的遍历方法主要有哪些？任画一个图举例说明。

例2.试编写图的广度优先搜素算法。

例3.以邻接表表示法作为图的存储结构，设计深度优先遍历递归算法。

四、最小生成树

1.概念

     具有连通图全部顶点的极小连通子图（生成树）中，各边的权值之和（代表）最小的。

例1.若含有n个顶点的图形成一个环，则它的生成树可能有几种？

答案是n。

2.Prim算法

（从点开始）

功能：用于构造最小生成树，初始时从图中任选一顶点加入最小生成树T中，此时树中只有一个顶点，之后选择一个与当前的最小生成树T中所有的顶点集合距离最近的一个顶点，并将该顶点和相应的边加入到T中，重复此操作，最终直至图中所有顶点加入到T中。

3.Kruskal算法

（从边开始）

功能：用于构造最小生成树，先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。

五、最短路径

     例1：试说明Dijkstra和Floyd的算法及其功能。

       1.Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

        是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

       算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

       2.Floyd算法

        是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j)

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点。

例2.

六、AOV网与拓扑排序

AOV网是有向无环图。

拓扑排序是对所有点先后顺序进行排序。（可能不唯一）利用该算法可以判断一个有向图是否存在回路。

每次选入度为0的点，然后删除这个点和它的出边。

例1.

例2.判断有向图是否存在回路，存在返回1，否则返回0。(1)写出对应结构定义。(2)编写算法。

例3.用邻接表存储有向图，编写对有向图进行拓扑排序的算法。